Algebra

Меню

1

Навіщо потрібна алгебра

2

Що таке алгебра?

3

Як додавати та віднімати змінні

4

Як множити числа на змінні

5

Приклади множення чисел зі змінними

6

Що таке змінні доданки?

7

Як розкрити дужки зі змінними

8

Як помножити дужки?

9

Які є правила розкриття дужок?

10

Які є правила піднесення до степеня для змінних?

11

Як ділити степені

12

Як множити степені дужок

13

Приклади розв'язання степенів змінних

14

Який зв'язок між степенями та коренями?

15

Як спрощувати дроби зі змінними

16

Як множити дроби зі змінними

17

Як ділити дроби шляхом скорочення

18

Як додавати й віднімати дроби з х у знаменнику

19

Як розкладати на множники вирази зі змінними

20

Як розкладати на множники і спрощувати дроби зі змінними

21

Як розкласти на множники многочлени 3-го і 4-го степеня

22

Як спрощувати раціональні вирази?

23

Перша алгебраїчна тотожність квадратних виразів

24

Друга алгебраїчна тотожність квадратних виразів

25

Третя алгебраїчна тотожність квадратних виразів

26

Формула виділення квадрата

27

Навіщо потрібні рівняння

28

Що таке рівняння?

29

Що таке змінна?

30

Як розв'язувати рівняння (змінивши бік, зміни знак)

31

Як позбутися числа перед x

32

Як розв’язувати лінійні рівняння (комбіновані способи)

33

Як позбутися числа, на яке ділиться x

34

Як розв’язувати рівняння з дужками

35

Як розв’язувати формули для заданих змінних

36

Як розв’язувати квадратні рівняння без лінійного члена

37

Як розв'язувати квадратні рівняння

38

Як розкласти квадратні вирази на множники

39

Що таке ділення многочленів?

40

Як розв'язувати кубічні рівняння та рівняння четвертого степеня

41

Що таке система рівнянь?

42

Побудова графіків рівнянь

43

Як розв'язувати системи рівнянь графічно

44

Розв'язування систем рівнянь методом підстановки

45

Розв'язування систем рівнянь методом алгебраїчного додавання

46

Як розв'язувати системи нелінійних рівнянь

47

Розв'язування систем рівнянь із багатьма невідомими

48

Як розв'язувати рівняння з дробами

49

Розв’язування раціональних рівнянь із х у знаменнику

У попереднiй статтi ми з’ясовували, як позбутися дробiв iз вiльними членами, або числами, у знаменнику i змiнною, наприклад $x$ , у чисельнику.

Тепер ми навчимося позбуватися дробiв iз змiнною в знаменнику. Гарна новина в тому, що всi кроки, крiм останнього, в обох методах iдентичнi! Останнiй крок — це перевiрка на наявнiсть стороннiх розв’язкiв, якi є недiйсними розв’язками, що траплялися пiд час процесу.

Щоб знайти спiльний знаменник, множимо всi знаменники в рiвняннi.

Щойно ти все це зрозумiєш — опануєш рацiональнi рiвняння!

Правило

1.: Знайди спiльний знаменник.
2.: Помнож усi члени на спiльний знаменник i скороти. Нижче ти помiтиш, що я беру чисельники в круглi дужки.
3.: Дотримуйся черговостi операцiй ДСМДДВ! Спершу розкрий дужки.
4.: Перенеси всi члени, що складаються лише з чисел, по один бiк рiвняння. Змiнивши бiк, не забудь змiнити знак.
5.: Перенеси всi члени з $x$ по iнший бiк рiвняння. Змiнивши бiк, не забудь змiнити знак.
6.: Об’єднай та спрости члени з обох бокiв рiвняння.
7.: Помнож або подiли обидвi частини рiвняння на число, яке стоїть перед $x$ .

Помiркуй

Я настiйно рекомендую розв’язувати багато задач iз рацiональними рiвняннями. Коли ти закрiпиш цей метод у пам’ятi, тобi буде складно його забути. Крiм того, засвоївши його, ти також засвоїш алгебраїчнi та арифметичнi операцiї з дробами. Це успiх!

Приклад 1

Розв’яжи рiвняння вiдносно $x$
$\frac{x + 1}{x} + 2 = \frac{3}{x + 1} + 3$

Множимо всi члени на спiльний знаменник, який становить $x (x + 1)$ :

\begin{array}{l} x (x + 1) \cdot \frac{(x + 1)}{x} \\ + 2 \cdot x (x + 1) & = x (x + 1) \cdot \frac{3}{x + 1} \\ + 3 \cdot x (x + 1) \\ x (x + 1) \cdot \frac{(x + 1)}{x} \\ + 2 \cdot x (x + 1) & = x (x + 1) \cdot \frac{3}{(x+1)} \\ + 3 \cdot x (x + 1) \\ (x + 1) (x + 1) \\ + 2 x (x + 1) & = x \cdot 3 \\ + 3 x (x + 1) \\ x^{2} + 2 x + 1 + \\ 2 x^{2} + 2 x & = 3 x + 3 x^{2} + 3 x \end{array}

\begin{array}{l} x (x + 1) \cdot \frac{(x + 1)}{x} + 2 \cdot x (x + 1) & = x (x + 1) \cdot \frac{3}{x + 1} + 3 \cdot x (x + 1) \\ x (x + 1) \cdot \frac{(x + 1)}{x} + 2 \cdot x (x + 1) & = x \cdot \frac{3}{(x+1)} + 3 \cdot x (x + 1) \\ (x + 1) (x + 1) + 2 x (x + 1) & = x \cdot 3 + 3 x (x + 1) \\ x^{2} + 2 x + 1 + 2 x^{2} + 2 x & = 3 x + 3 x^{2} + 3 x \end{array}

Тепер переносимо всi члени з

x

по один бiк, а всi члени, що складаються лише з чисел — по iнший бiк:

x^{2} + 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x + 2 x - 3 x - 3 x = - 1

Спрощуємо вираз:

- 2 x = - 1

Нарештi, дiлимо на число, що стоїть перед $x$ : $\begin{array}{l} \frac{-2 x}{-2} & = - \frac{1}{- 2} \\ x & = \frac{1}{2} \end{array}$

Приклад 2

Розв’яжи рiвняння

\frac{3 x}{x^{2} - 4} = \frac{2}{x + 2} - \frac{2}{x - 2}

вiдносно $x$

Множимо на спiльний знаменник
$x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$ :

\begin{array}{l} (x^{2} - 4) \cdot \frac{3 x}{x^{2} - 4} & = (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x + 2)} \\ - (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x - 2)} \\ \cdot \frac{3 x}{x^{2}-4} & = (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x+2)} \\ - (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x-2)} \\ 3 x & = (x - 2) \cdot 2 - (x + 2) \cdot 2 \\ 3 x & = 2 x - 4 - 2 x - 4 \end{array}

\begin{array}{l} (x^{2} - 4) \cdot \frac{3 x}{x^{2} - 4} & = (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x + 2)} - (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x - 2)} \\ \cdot \frac{3 x}{x^{2}-4} & = (x - 2) \cdot \frac{2}{(x+2)} - (x + 2) (x - 2) \cdot \frac{2}{(x-2)} \\ 3 x & = (x - 2) \cdot 2 - (x + 2) \cdot 2 \\ 3 x & = 2 x - 4 - 2 x - 4 \end{array}

Перемiщуємо всi члени з

x

по один бiк, а всi константи — по iнший бiк:

3 x - 2 x + 2 x = - 4 - 4

Спрощуємо вираз:

3 x = - 8

Дiлимо на число, що стоїть перед $x$ : $\begin{array}{l} \frac{3 x}{3} & = \frac{- 8}{3} \\ x & = - \frac{8}{3} \end{array}$

Приклад 3

Розв’яжи рiвняння

\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x} = \frac{9}{x^{2} - 3 x}

Якщо можливо, розклади знаменники на множники, щоб знайти значення $x$ , за яких вираз невизначений.

x^{2} - 3 x = x (x - 3)

Як бачимо, з множникiв у знаменниках є лише $x$ та $x - 3$ . Отже,

- 3 = 0 \Rightarrow x = 3 i x = 0

є значеннями $x$ , за яких вираз невизначений. Знаходимо спiльний знаменник, помноживши мiж собою рiзнi множники. Спiльний знаменник — це

x (x - 3) .

Тепер розв’язуємо рiвняння:

\begin{array}{l} \frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x} & = \frac{9}{x^{2} - 3 x}, x \neq 0, 3 \\ \frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x} & = \frac{9}{x (x - 3)} | \cdot x (x - 3) \\ x \cdot x - 2 \cdot (x - 3) & = 9 \\ x^{2} - 2 x + 6 - 9 & = 0 \\ x^{2} - 2 x - 3 & = 0 \end{array}

\begin{array}{l} \frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x} & = \frac{9}{x^{2} - 3 x}, x \neq 0, 3 \\ \frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x} & = \frac{9}{x (x - 3)} | \cdot x (x - 3) \\ x \cdot x - 2 \cdot (x - 3) & = 9 \\ x^{2} - 2 x + 6 - 9 & = 0 \\ x^{2} - 2 x - 3 & = 0 \end{array}

Застосовуємо квадратну формулу, щоб розкласти лiву частину рiвняння на множники:

(x - 3) (x + 1) = 0

Отримуємо розв’язки

x_{1} = 3 and x_{2} = - 1

Оскiльки $x = 3$ є одним зi значень, за яких вираз невизначений, вiдповiдь буде $x = - 1$ .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Готово

Продовжити

50

Що таке ірраціональні рівняння?

51

Що таке степеневі рівняння?

52

Як перевіряти розв'язки рівнянь

53

Як скласти рівняння на основі текстової задачі

54

Що таке правило нульового добутку?

55

Як розв'язувати рівняння шляхом підстановки

56

Як розв'язувати рівняння графічно

57

Як розв'язувати лінійні нерівності

58

Як розв'язувати нерівності графічно

59

Як працюють діаграми знаків?

60

Як знайти інтервал нерівності

61

Що таке квадратні нерівності?

62

Як розв'язувати нерівності третього степеня і вище

63

Що таке раціональні нерівності?

64

Що таке логарифм?

65

Що таке число Ейлера e?

66

Що таке натуральний логарифм?

67

Які є логарифмічні властивості?

68

Що таке показникові рівняння?

69

Що таке логарифмічні рівняння?

70

Як розв'язувати показникові нерівності

71

Як розв'язувати логарифмічні нерівності