House of Math

Як розв'язувати кубічні рівняння та рівняння четвертого степеня

Ранiше ми навчилися розв’язувати лiнiйнi рiвняння (рiвняння, в яких найвищий степiнь дорiвнює 1) i квадратнi рiвняння (рiвняння, в яких найвищий степiнь дорiвнює 2). У цьому роздiлi ти з’ясуєш, як розв’язувати рiвняння зi степенями всiх можливих значень. Переважно ми розглядатимемо кубiчнi рiвняння та рiвняння четвертого степеня — спосiб розв’язання цих рiвнянь однаковий.

Теорiя

Типи кубiчних рiвнянь

1.

Рiвняння з

x

у кожному членi:

a x^{3} + b x^{2} + c x = 0 .

2.

Рiвняння з вiльним членом:

a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 .

Правило

Розв’язування кубiчних рiвнянь iз $x$ у кожному членi

1.

Розклади

x

на множники за дужками:

x (a x^{2} + b x + c) = 0

.

2.

Розклади на множники квадратне рiвняння:

(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0

.

3.

Тепер можна розкласти на множники кубiчне рiвняння:

x (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0 .

4.

Розв’яжи рiвняння, застосувавши правило нульового добутку (

a \cdot b = 0

, якщо

a = 0

або

b = 0

). Отримаєш

x = a

,

x = x_{1}

i

x = x_{2}

.

Приклад 1

Розв’яжи рiвняння $x^{3} + 2 x^{2} + x = 0$

1.: Дотримуючись способу, наведеного вище, розкладаємо $x$ на множники за дужками: $\begin{array}{l} x^{3} + 2 x^{2} + x & = 0, \\ x (x^{2} + 2 x + 1) & = 0 . \end{array}$
2.: Тепер розкладаємо на множники квадратне рiвняння за допомогою квадратної формули або шляхом перевiрки. $\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 1 & = 0, \\ (x - 1) (x - 1) & = 0 . \end{array}$
3.: Розкладаємо на множники кубiчне рiвняння: $\begin{array}{l} x (x - 1) (x - 1) = 0 . \end{array}$
4.: Розв’язуємо рiвняння: $\begin{matrix} x (x - 1) (x - 1) = 0 \\ x = 0 i x = 1 \end{matrix}$

Приклад 2

Розв’яжи рiвняння $x^{4} = 9 x^{2}$

\begin{array}{l} x^{4} & = 9 x^{2} \\ x^{4} - 9 x^{2} & = 0 \\ x^{2} (x^{2} - 9) & = 0 \\ x^{2} (x - 3) (x + 3) & = 0 \end{array}

Тепер застосовуємо правило нульового добутку, щоб знайти розв’язки:

\begin{matrix} x^{2} (x - 3) (x + 3) = 0 \\ x^{2} = 0 \\ \Rightarrow \\ x = 0 i x = 3 i x = - 3 \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} (x - 3) (x + 3) = 0 \\ x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0 i x = 3 i x = - 3 \end{matrix}

Правило

Розв’язування кубiчних рiвнянь iз вiльним членом

1.

Вгадуємо розв’язок i виконуємо дiлення многочленiв стовпчиком.

2.

Розкладаємо кубiчне рiвняння на множники:

(x - a) (a x^{2} + b x + c) = 0

.

3.

Розкладаємо квадратне рiвняння на множники:

(x - x_{1}) (x - x_{2})

.

4.

Тепер розкладаємо на множники кубiчне рiвняння:

(x - a) (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0 .

5.

Розв’язуємо рiвняння, застосувавши правило нульового добутку (

a \cdot b = 0

, якщо

a = 0

або

b = 0

). Отримуємо

x = 0

,

x = x_{1}

i

x = x_{2}

.

Приклад 3

Розв’яжи рiвняння $x^{3} - 7 x = - 6$

1.

Спершу переносимо всi члени по лiвий бiк рiвняння.

\begin{array}{l} x^{3} - 7 x & = - 6 \\ x^{3} - 7 x + 6 & = 0 \end{array}

Тепер вгадуємо розв’язок. Починаємо з $x = 1$ :

{(1)}^{3} - 7 (1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0 .

Нам пощастило, i перший же вгаданий розв’язок виявився правильним (саме тому вгадувати розв’язки найчастiше починають з 1).

Тепер виконуємо дiлення многочлена стовпчиком для рiвняння з $(x - 1)$ . У виразi вiдсутнiй член $x^{2}$ , тому залишаємо вiльне мiсце там, де вiн мав би бути, або пiдставляємо 0 перед $x^{2}$ в записi дiлення многочлена стовпчиком. Так буде простiше вiдстежувати члени.

Дiлення стовпчиком многочлена x̂3-7x+6, що дiлиться на x-1

2.

Розкладаємо рiвняння на множники:

(x - 1) (x^{2} + x - 6) .

3.

Тепер розкладаємо на множники квадратний вираз

x^{2} + x - 6

за допомогою квадратної формули або шляхом перевiрки. Розв’язуємо рiвняння

x^{2} + x - 6 = 0

i отримуємо розв’язки $x = 2$ i $x = - 3$ . Пiдставляємо їх у формулу розкладання на множники $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , i розкладений на множники вираз отримує вигляд