House of Math

Як розв'язувати квадратні рівняння

Квадратнi рiвняння — це рiвняння, що мають форму

a x^{2} + b x + c = 0 .

Вираз $a x^{2} + b x + c$ називають квадратним виразом, оскiльки найвищий степiнь будь-якого з його членiв — це 2. Iснує чотири способи розв’язування квадратних рiвнянь:

1.: Квадратна формула
2.: Розв’язування квадратних рiвнянь, у яких $c = 0$
3.: Розв’язування квадратних рiвнянь, у яких $b = 0$
4.: Розв’язування квадратних рiвнянь шляхом перевiрки

Результатом застосування кожного з цих методiв завжди є корiнь функцiї.

Формула

Квадратна формула

Квадратну формулу можна використовувати з усiма квадратними виразами. Коренi знаходимо так:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Квадратнi вирази можуть не мати розв’язку, мати один розв’язок або два розв’язки.

$b^{2} - 4 a c < 0 \Rightarrow$ немає дiйсних розв’язкiв,
$b^{2} - 4 a c = 0 \Rightarrow$ один дiйсний розв’язок,
$b^{2} - 4 a c > 0 \Rightarrow$ два дiйсних розв’язки.

Приклад 1

Розв’яжи рiвняння $x^{2} + 11 x = - 30$ .

Насамперед потрiбно перенести всi члени, що не дорiвнюють нулю, по один бiк вiд знака рiвностi, щоб по iнший бiк лишився тiльки

0

:

\begin{array}{l} x^{2} + 11 x & = - 30 \\ x^{2} + 11 x + 30 & = 0 \end{array}

Потiм використовуємо квадратну формулу, де $a = 1$ , $b = 11$ , а $c = 30$ : $\begin{array}{l} x & = \frac{- 11 \pm \sqrt{{(11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2} \\ = \frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{2} \\ = \frac{- 11 \pm 1}{2} \end{array}$

Складаємо вирази як iз додатним, так i з вiд’ємним квадратним коренем:

\begin{array}{l} x_{1} & = \frac{- 11 + 1}{2} & x_{2} & = \frac{- 11 - 1}{2} \\ = \frac{- 10}{2} & = \frac{- 12}{2} \\ = - 5 & = - 6 \end{array}

Це означає, що розв’язками є $x_{1} = - 5$ i $x_{2} = - 6$ .

Правило

Розв’язування квадратних рiвнянь, у яких $c = 0$

Якщо $c = 0$ , вираз має такий вигляд:

a x^{2} + b x = 0

1.: Розклади вираз на множники, винiсши x за дужки. Отримаємо добуток у виглядi $p \cdot q = 0$ .
2.: Це означає, що можна зробити таке: $p \cdot q = 0 \Leftrightarrow p = 0$ або $q = 0$ .

Приклад 2

Розв’яжи рiвняння $2 x^{2} + 4 x = 0$ .

Розклади вираз на множники, винiсши

2 x

за дужки:

2 x (x + 2) = 0 .

Пiсля цього склади вираз для кожного множника:

\begin{array}{l} 2 x & = 0 & x + 2 & = 0 \\ x & = 0 & x & = - 2 \end{array}

Отримаєш $x_{1} = 0$ i $x_{2} = - 2$ .

Правило

Розв’язування квадратних рiвнянь, у яких $b = 0$

Якщо $b = 0$ , вираз має такий вигляд:

a x^{2} - c = 0

1.: Перенеси вiльний член $c$ в iншу частину рiвняння.
2.: Подiли на $a$ .
3.: Знайди квадратний корiнь iз обох частин.
4.: Отримаєш додатний та вiд’ємний розв’язок.

Приклад 3

\begin{array}{l} 3 x^{2} - 27 & = 0 \\ 3 x^{2} & = 27 | : 3 \\ x^{2} & = 9 \\ x & = \pm 3 \end{array}

Правило

Розв’язування квадратних рiвнянь шляхом перевiрки

Дано вираз $a x^{2} + b x + c = 0$ . Пiд час розв’язування шляхом перевiрки дотримуємося двох правил:

\begin{array}{l} c & = p \cdot q, \\ b & = p + q . \end{array}

$x_{1} = - p$ i $x_{2} = - q$ тут — це коренi функцiї, а отже, є розв’язками рiвняння.

Приклад 4

Розв’яжи рiвняння $x^{2} - x - 56 = 0$ .

Як бачиш,

b = - 1

, а

c = - 56

. Тобi потрiбно знайти значення

p

i

q

, що допоможуть розв’язати рiвняння. Iснує кiлька комбiнацiй множникiв, якi дають добуток

- 56

. Ось декiлька з них:

\begin{array}{l} - (2 \cdot 28) & = - 56, \\ - (4 \cdot 14) & = - 56, \\ - (7 \cdot 8) & = - 56, \end{array}

Оскiльки всi цi добутки дорiвнюють $- 56$ , то всi комбiнацiї є потенцiйними розв’язками. Для кожного з цих добуткiв потрiбно отримати вiд’ємну рiзницю мiж множниками, тому що нас цiкавить розв’язок $- 1$ — вiд’ємне число. А отже, задаємо рiзницi: