House of Math

Що таке ділення многочленів?

Дiлення многочленiв — це операцiя дiлення за участi многочленiв. Многочлен являє собою суму множини одночленiв у виглядi $a x^{n}$ , де $a \in ℝ$ (дiйснi числа) i $n \in ℕ$ (натуральнi числа). Це нагадує технiку, яку ти застосовував для звичайного дiлення в початковiй школi.

Дiлення многочленiв часто застосовується, коли ми розкладаємо на множники многочлени вищого степеня, наприклад

a x^{3} + b x^{2} + c x + d,

а також коли розв’язуємо полiномiальнi рiвняння вищого степеня.

Поширеним прийомом є вгадування одного з коренiв виразу. Це може здатися дещо дивним, але ми не просто дiстаємо довiльнi цифри з капелюха, а робимо квалiфiковане припущення. Точнiше, вгадування розв’язкiв означає спробу пiдставити у вираз числа на кшталт

x = 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, \dots,

щоб перевiрити, чи дорiвнюватиме вiн $0$ . «Вгадування розв’язкiв» звучить дещо дивно, але не хвилюйся: це доволi просто.

Теорiя

Важлива iнформацiя про дiлення многочленiв

Вираз $P (x) : (x - a)$ дiлиться без остачi, якщо $P (a) = 0$ . Це також означає, що якщо $P (a) = 0$ , то $x = a$ є розв’язком рiвняння $P (x) = 0$ .
Вираз $P (x) : (x - a)$ не дiлиться без остачi, якщо $P (a) \neq 0$ . У цьому разi $x = a$ не є розв’язком рiвняння $P (x) = 0$ , i дiлення вiдбувається з остачею.

Дiлення многочленiв простiше вчити на прикладах, нiж за допомогою громiздких схем. Нижче наведено приклад, що допоможе перевiрити, чи $x = a$ є коренем, а також кiлька прикладiв дiлення многочленiв iз поясненнями.

Зверни увагу! Дiлене — це те саме, що й чисельник, а дiльник — те саме, що й знаменник.

Приклад 1

Перевiр, чи $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 2$ дiлиться на $x - 1$ .

Вiдомо, що

P (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 2

дiлиться на

x - 1

, якщо

P (1) = 0

. Це означає, що для перевiрки достатньо пiдставити

x = 1

у

P (x)

.

\begin{array}{l} P (1) & = {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} - 3 (1) - 2 \\ = 1 + 2 - 3 - 2 \\ = - 2 \\ \neq 0 \end{array}

Отже, робимо висновок, що

x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 2

не дiлиться на $x - 1$ .

Приклад 2

Дiлення многочленiв без остачi

Виконай наведенi нижче дiї та переконайся, що розумiєш процедуру. Спробуй виконати це завдання самостiйно i перевiр, чи отримаєш ту саму вiдповiдь!

Дiлення стовпчиком многочлена x̂3+2x̂2-5x-6 на x-2

1.: Передусiм запитай себе: «на що треба помножити $x$ , щоб отримати $x^{3}$ ?» Вiдповiдь — $x^{2}$ .
2.: Запиши $x^{2}$ над рискою, а $- x^{3}$ пiд $x^{3}$ лiворуч.
3.: Помнож $x^{2}$ на $- 2$ . Отримаєш $- 2 x^{2}$ . Пiдстав $- (- 2 x^{2}) = 2 x^{2}$ праворуч вiд $- x^{3}$ у рядку $2$ розрахунку.
4.: Додай одночлени в рядку $2$ до аналогiчних одночленiв у рядку $1$ над ними, а тодi перенеси пiд риску перший одночлен у дiленому, пiд яким ще немає одночлена.
5.: Повторюй цей процес, доки в дiленому не закiнчаться одночлени.
6.: Якщо остача дорiвнює нулю, дiлення завершено.
7.: Якщо остача не дорiвнює нулю, склади дрiб iз остачею в чисельнику та дiльником у знаменнику. Додай цей дрiб до виразу над рискою, що i є розв’язком.

Приклад 3

Дiлення многочленiв iз остачею

Виконай наведенi нижче дiї та переконайся, що розумiєш процедуру. Спробуй виконати це завдання самостiйно i перевiр, чи отримаєш ту саму вiдповiдь!

Дiлення стовпчиком многочлена 2x̂2-5x-6, що дiлиться на x-1

1.: Передусiм запитай себе: «на що треба помножити $x$ , щоб отримати $2 x^{2}$ ?» Вiдповiдь — $2 x$ .
2.: Запиши $2 x$ над рискою i $- 2 x^{2}$ пiд $2 x^{2}$ лiворуч вiд дiленого.
3.: Помнож $2 x$ на $- 1$ . Отримаєш $- 2 x$ . Пiдстав $- (- 2 x) = 2 x$ праворуч вiд $- x^{3}$ у рядку $2$ .
4.: Додай одночлени в рядку $2$ до аналогiчних одночленiв у рядку $1$ над ними, а тодi перенеси пiд риску перший одночлен у дiленому, пiд яким ще немає одночлена.
5.: Повторюй цей процес, доки в дiленому не закiнчаться одночлени.
6.: Якщо остача дорiвнює нулю, дiлення завершено.
7.: Якщо остача не дорiвнює нулю, склади дрiб iз остачею в чисельнику та дiльником у знаменнику. Додай цей дрiб до виразу над рискою, що i є розв’язком.

Приклад 4

Якщо ми дiлимо многочлен

(a x^{2} - x + 4) : (x - 1),

то яких значень має набувати $a$ , щоб дiлення вiдбувалося без остачi?

Спосiб 1 (складнiший)

Згiдно з цим способом потрiбно виконати дiлення многочлена й задати остачу рiвною нулю, щоб знайти $a$ .

Дiлення стовпчиком многочлена ax̂2-x+4, що дiлиться на x-1

Задаємо остачу

3 + a

рiвною

0

i знаходимо

a

. Отримуємо

a = - 3

. Це означає, що многочлен дiлиться без остачi, якщо

a = - 3

.

Спосiб 2 (простiший)

Якщо дiлення

(a x^{2} - x + 4) : (x - 1)

вiдбувається без остачi, то, як ми знаємо,

P (x) = (a x^{2} - x + 4) = 0,

коли $x = 1$ . Це означає, що можна пiдставити $x = 1$ , щоб знайти $a$ . $\begin{array}{l} P (1) = a \cdot 1^{2} - 1 + 4 & = 0 \\ a + 3 & = 0 \\ a & = - 3 \end{array}$