Як розв’язувати тригонометричні рівняння за допомогою тотожностей

Деякi рiвняння мають декiлька членiв iз тригонометричними функцiями. У такому разi треба використовувати тригонометричнi тотожностi для групування iксiв x. Ось декiлька прикладiв використання тригонометричних тотожностей у рiвняннях.

Приклад 1

Рiвняння виду acos v + bsin v = 0

У цьому випадку ми дiлимо на cos x0 обидвi частини рiвняння, щоб отримати вираз iз tan x. Це працює, тому що tan v = sin v cos v. Нарештi в цьому прикладi потрiбно перевiрити випадок, коли cos 2x = 0, щоб переконатися, що ми не пропустимо жодного розв’язку.

Розв’яжи рiвняння

4 cos 2x + 4 sin 2x = 0, (1)

вiдносно x [0, 4π).

4 cos 2x + 4 sin 2x = 0| : 4 cos 2x + sin 2x = 0| : cos 2x0 cos 2x cos 2x + sin 2x cos 2x = 0 1 + tan 2x = 0 tan 2x = 1 2x = 3π 4 + n π x = 3π 8 + n π 2 В iнтервалi [0, 4π) отримаємо такi розв’язки
x {3π 8 , 7π 8 , 11π 8 , 15π 8 , 19π 8 , 23π 8 , 27π 8 , 31π 8 }.

x {3π 8 , 7π 8 , 11π 8 , 15π 8 , 19π 8 , 23π 8 , 27π 8 , 31π 8 } .

Тепер потрiбно перевiрити, чи дає cos 2x = 0 якiсь розв’язки. Зверни увагу, що cos 2x = 0 збiгається iз sin 2x = 1 або sin 2x = 1:

sin 2x = 1 sin 2x = 1 2x = π 2 + n 2π 2x = 3π 2 + n 2π x = π 4 + n π x = 3π 4 + n π

sin 2x = 1 sin 2x = 1 2x = π 2 + n 2π 2x = 3π 2 + n 2π x = π 4 + n π x = 3π 4 + n π

Звiдси отримаємо такi розв’язки в iнтервалi [0, 4π):

x {π 4, 3π 4 , 5π 4 , 7π 4 , 9π 4 , 11π 4 , 13π 4 , 15π 4 }

Тепер потрiбно перевiрити цi розв’язки в основному рiвняннi (1):

x = π 4:

LHS = 4 cos (2 π 4 ) + 4 sin (2 π 4 ) = 4 0 + 4 1 = 4 0 = RHS

x = 3π 4 :

LHS = 4 cos (2 3π 4 )) + 4 sin (2 3π 4 ) = 4 0 + 4 (1) = 4 0 = RHS

x = 5π 4 :

LHS = 4 cos (2 5π 4 ) + 4 sin (2 5π 4 ) = 4 0 + 4 1 = 4 0 = RHS

x = 7π 4 :

LHS = 4 cos (2 7π 4 ) + 4 sin (2 7π 4 ) = 4 0 + 4 (1) = 4 0 = RHS

x = 9π 4 :

LHS = 4 cos (2 9π 4 ) + 4 sin (2 9π 4 ) = 4 0 + 4 1 = 4 0 = RHS

x = 11π 4 :

LHS = 4 cos (2 11π 4 ) + 4 sin (2 11π 4 ) = 4 0 + 4 (1) = 4 0 = RHS

x = 13π 4 :

LHS = 4 cos (2 13π 4 ) + 4 sin (2 13π 4 ) = 4 0 + 4 1 = 4 0 = RHS

x = 15π 4 :

LHS = 4 cos (2 15π 4 ) + 4 sin (2 15π 4 ) = 4 0 + 4 (1) = 4 0 = RHS

Формула (1) бiльше розв’язкiв не має, й можна дiйти висновку, що розв’язками в iнтервалi [0, 4π) є:

x {3π 8 , 7π 8 , 11π 8 , 15π 8 , 19π 8 , 23π 8 , 27π 8 , 31π 8 }

Зверни увагу! Це дуже громiздкий спосiб перевiрки того, чи cos 2x = 0 дає декiлька розв’язкiв, але вiн завжди спрацьовує! Iнший спосiб перевiрити, чи cos 2x = 0 — це подивитися на основне рiвняння та, використовуючи свої знання про тригонометричнi тотожностi, проаналiзувати його.

Приклад 2

Рiвняння виду

a cos(2x) + b cos x + c = 0

потребує використання таких тотожностей

cos(2x) = cos 2x sin 2x

та

sin 2x + cos 2x = 1.

Розв’яжи рiвняння

cos(2x) + cos x + 1 = 0,x [0, 2π).

cos(2x) + cos x + 1 = 0 cos 2x sin 2x + cos x + 1 = 0 cos 2x (1 cos 2x) + cos x + 1 = 0 2 cos 2x + cos x = 0 cos x(2 cos x + 1) = 0 Використаємо правило нульового добуткута розглянемо два рiвняння cos x = 0 and 2 cos x + 1 = 0. Рiвняння cos x = 0 має такi розв’язки x1 = π 2 + n 2π, x2 = π 2 + n 2π.

Перепишемо рiвняння 2 cos x + 1 = 0 як найпростiше тригонометричне рiвняння cos x = 1 2. Його розв’язками є

x3 = 2π 3 + n 2π, x4 = 2π 3 + n 2π.

Це означає, що розв’язками для iнтервалу [0, 2π) є

x {π 2, 2π 3 , 4π 3 , 3π 2 } .

Приклад 3

Рiвняння виду

a cos 2x b sin x = c

потребує використання такої тотожностi

cos 2x + sin 2x = 1

i пiдстановки.

Розв’яжи рiвняння

2 cos 2x sin x = 1,x [0, 2π)

2 (1 sin 2x) sin x = 1 2 2 sin 2x sin x = 1 2 sin 2x sin x + 1 = 0 Виконаємо пiдстановку u = sin x у цьому рiвняннi, що дає нам
2u2 u + 1 = 0.

Розв’яжемо квадратне рiвняння:

u = 1 ±(1)2 4 (2) 1 4 = 1 ±9 4

Його розв’язками є

u1 = 1u2 = 1 2.

Тепер замiняємо sin x знову на u:

sin x = 1 x1 = 3π 2 + n 2π x2 = π 3π 2 + n 2π = π 2 + n 2π sin x = 1 2 x3 = π 6 + n 2π x4 = π π 6 + n 2π = 5π 6 + n 2π

sin x = 1 sin x = 1 2 x1 = 3π 2 + n 2π x3 = π 6 + n 2π x2 = π 3π 2 + n 2π x4 = π π 6 + n 2π = π 2 + n 2π = 5π 6 + n 2π

Розв’язками в iнтервалi [0, 2π) є:

x {π 6, 5π 6 , 3π 2 }

Зверни увагу, що π 2 не входить до розв’язкiв. Це тому, що вiн знаходиться поза iнтервалом, який ми розглядаємо.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!