>Способи застосування похідних>Аналіз показникових функцій

Аналіз показникових функцій

Ось приклад аналiзу показникової функцiї. Метод такий:

Правило

Аналiз показникових функцiй

1.: Знайди нулi функцiї.
2.: Знайди стацiонарнi точки.
3.: Знайди точки перегину.

Приклад 1

Проаналiзуй функцiю $f (x) = 2 x^{2} \cdot e^{x}$

Приклад аналiзу показникової функцiї

1.

Знайди нулi, задавши

f (x) = 0

2 x^{2} \cdot e^{x} = 0 .

Властивiсть нульового добутку дає $2 x^{2} = 0$ або $e^{x} = 0$ . Втiм, $e^{x}$ завжди додатне, тому

\begin{array}{l} 2 x^{2} & = 0 \\ x^{2} & = 0 \\ x & = 0 \end{array}

Отже, отримуємо нуль у початку координат $(0, 0)$ .

2.

Знайди максимуми та мiнiмуми, задавши

f^{'} (x) = 0

. Спочатку знаходимо похiдну вiд

f (x) = 2 x^{2} \cdot e^{x}

\begin{array}{l} f^{'} (x) & = 4 x \cdot e^{x} + 2 x^{2} \cdot e^{x} \\ = e^{x} (4 x + 2 x^{2}) \\ = 2 x \cdot e^{x} (2 + x) \end{array}

Потiм знаходимо точку, в якiй $f^{'} (x)$ дорiвнює 0:

2 x \cdot e^{x} (2 + x) = 0 .

Знову-таки, $e^{x}$ завжди додатне, тому

\begin{array}{l} 2 x & = 0 & \Rightarrow & x & = 0 \\ 2 + x & = 0 & \Rightarrow & x & = - 2 \end{array}

Потiм нам знадобляться вiдповiднi значення $y$ , щоб знайти точку. Для цього вводимо свої значення $x$ назад у основну функцiю $f (x)$ :

\begin{array}{l} y & = f (0) = 2 \cdot 0^{2} \cdot e^{0} = 0 \\ y & = f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2} \cdot e^{- 2} = 8 e^{- 2} \\ = \frac{8}{e^{2}} \end{array}

\begin{array}{l} y & = f (0) = 2 \cdot 0^{2} \cdot e^{0} = 0 \\ y & = f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2} \cdot e^{- 2} = 8 e^{- 2} = \frac{8}{e^{2}} \end{array}

Тепер потрiбно визначити, яка точка є максимумом, а яка мiнiмумом. Для цього будуємо дiаграму знакiв.

Дiаграма знакiв показникової функцiї

Як бачимо, максимум вiдповiдає $(- 2, \frac{8}{e^{2}})$ , а мiнiмум — $(0, 0)$ .

3.

Знайди точки перегину, задавши

f^{″} (x) = 0

. Спочатку знаходимо другу похiдну, продиференцiювавши

f^{'} (x) = e^{x} (4 x + 2 x^{2})

\begin{array}{l} f^{″} (x) & = e^{x} (4 x + 2 x^{2}) + e^{x} (4 + 4 x) \\ = e^{x} (4 x + 2 x^{2} + 4 + 4 x) \\ = e^{x} (2 x^{2} + 8 x + 4) \end{array}

Потiм задаємо $f^{″} (x) = 0$ i розвязуємо рiвняння:

e^{x} (2 x^{2} + 8 x + 4) = 0 .

$e^{x}$ завжди додатне, тому отримуємо

2 x^{2} + 8 x + 4 = 0 .

Розв’язуємо рiвняння за допомогою квадратичної формули i отримуємо розв’язки $x \approx - 0.6$ i $x \approx - 3.4$ . Знаходимо вiдповiднi значення $y$ , пiдставивши новi значення $x$ назад у основну функцiю $f (x)$ . Отримуємо:

\begin{array}{l} y & = f (- 3.4) \\ = 2 \cdot {(- 3.4)}^{2} \cdot e^{- 3.4} \\ \approx 0.772 \\ y & = f (- 0.6) \\ = 2 {(- 0.6)}^{2} \cdot e^{- 0.6} \\ = 8 e^{- 0.6} \\ \approx 0.395, \end{array}

що означає, що ми маємо точки перегину $(- 3.4, 0.772)$ i $(- 0.6, 0.395)$ .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як аналізувати функцію косинуса

Повернутися