Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
Кольоровий логотип House of Math
Увійти/Зареєструватися
Меню

Математичне сподівання та дисперсія сум

Пiсля знаходження математичного сподiвання та варiацiї для набору даних корисно знати, що обчислювати все знову у разi внесення дрiбних змiн до набору даних не доведеться. Насправдi можна використовувати значення математичного сподiвання та варiацiї, визначенi ранiше, пiдставивши їх у формули, з якими ми познайомимося в цьому роздiлi.

Теорiя

Сума змiнних

Сума випадкових змiнних може мати такий вигляд:

Z = aX + Y + b,

де X i Y — це випадковi змiннi, що не залежать одна вiд одної, а a i b — це сталi.

За наявностi суми змiнних знайденi значення E ⁡ (X), E ⁡ (Y ), Var ⁡ (X) i Var ⁡ (Y ) можна використовувати безпосередньо. Загалом надмiру ускладнений розрахунок може суттєво спростити завдяки формулам:

Формула

Зручнi формули на розрахунок суми змiнних

E ⁡ (Z) = E ⁡ (aX + Y + b) = E ⁡ (aX) + E ⁡ (Y + b) = a E ⁡ (X) + E ⁡ (Y ) + b Var ⁡ (Z) = Var ⁡ (aX + Y + b) = Var ⁡ (aX) + Var ⁡ (Y + b) = a2 Var ⁡ (X) + Var ⁡ (Y ) Зверни увагу! Пiсля знаходження варiацiї вiльний член усувається.

Приклад 1

Дано Z = 3X + Y + 6 i E ⁡ (X) = 7, E ⁡ (Y ) = 16, Var ⁡ (X) = 2 i Var ⁡ (Y ) = 3. Знайди математичне сподiвання E ⁡ (Z) i варiацiю Var ⁡ (Z).

Щоб знайти математичне сподiвання, пiдставляємо вiдомi значення у формули:

E ⁡ (Z) = E ⁡ (3X + Y + 6) = E ⁡ (3X) + E ⁡ (Y + 6) = 3 E ⁡ (X) + E ⁡ (Y ) + 6 = 3 ⋅ 7 + 16 + 6 = 43

Варiацiю шукаємо так само:

Var ⁡ (Z) = Var ⁡ (3X + Y + 6) = Var ⁡ (3X) + Var ⁡ (Y + 6) = 32 Var ⁡ (X) + Var ⁡ (Y ) = 9 ⋅ 2 + 3 = 21

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
У чому полягає математичне сподівання?
Повернутися