>Конкурентні прямі та колінеарні точки>Що таке пряма Ейлера?

Що таке пряма Ейлера?

Пряма Ейлера трикутника

На наведеному вище рисунку показане важливе явище в геометрiї, а саме те, що ортоцентр, центроїд i центр описаного кола трикутника лежать на однiй прямiй. Ця пряма називається прямою Ейлера.

Теорiя

Пряма Ейлера

Пряма Ейлера — це пряма, що проходить через ортоцентр, центроїд i центр описаного кола трикутника.

Приклад 1

Дано точки $(1, 2)$ , $(- 1, 3)$ та $(2, 0)$ . Чи можуть цi точки бути ортоцентром, центроїдом i центром описаного кола трикутника?

Щоб дiзнатися, використаємо рiвняння прямої з кутовим коефiцiєнтом

y - y_{1} = a (x - x_{1})

з двома точками й перевiримо, чи третя точка знаходиться на прямiй. Спершу знаходимо кутовий коефiцiєнт $a$ :

a = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2 - 3}{1 - (- 1)} = \frac{- 1}{2} .

Пiсля цього використаємо одну з точок, якi ми застосовували для розрахунку кутового коефiцiєнта, й додаємо її до формули. Тодi отримаємо:

\begin{array}{l} y - 2 & = - \frac{1}{2} (x - 1) \\ y & = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} + 2 \\ = - \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} \end{array}

Тепер пiдставмо останню точку $(2, 0)$ у вираз $y$ та погляньмо, чи вона задовольняє рiвнiсть:

0 \neq \frac{3}{2} = - \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{5}{2}

Отже, можна дiйти висновку, що три точки не можуть бути ортоцентром, центроїдом i центром описаного кола трикутника. Якби це було так, всi вони лежали б на прямiй Ейлера.

Попередня стаття

Як знайти ортоцентр і висоти трикутника

Повернутися