Коло Аполлонія

Коло Аполлонiя

Коло Аполлонiя — це ще один пiдхiд до визначення кола, заданого вiдрiзком $A B$ .

Теорiя

Коло Аполлонiя

Коло Аполлонiя — це геометричне мiсце всiх точок

P

, що задовольняють

∠ A P B = v

для даного кута

v

. Рiзнi значення

v

призводять до рiзних кiл. Вiдрiзок

A B

стає хордою цього кола, а кут

v

стає вписаним кутом, що охоплює дугу кола

A B

Трикутник

△ A O B

рiвнобедрений, оскiльки обидвi бiчнi сторони

A O

та

B O

дорiвнюють радiусу кола. Отже, нам вiдомо, що

∠ B A O

та

∠ A B O

рiвнi. Тепер можна побудувати їх у точках

A

та

B

, де

v

дано, за допомогою такої формули:

∠ A B O = ∠ B A O = 90 ° - v .

(1)

Точка, де кутовi променi зустрiчаються один з iншим, є центром кола, що проходить через точки $A$ та $B$ . Тепер можна використати радiус i центр для побудови кола за допомогою циркуля.

Приклад 1

Побудуй трикутник $∠ A B C$ , у якого $A B = 10 см$ , кут $∠ A C B = 45 °$ , вiдстань вiд вершини $C$ до сторони $A B$ становить $5 см$ , i вершина $C$ знаходиться ближче до вершини $A$ , нiж $B$ .

Накреслимо допомiжну фiгуру:

Починаємо з побудови сторони

A B = 10 см

. Потiм ми проводимо перпендикуляри вiд вершин

A

та

B

й опускаємо висоту

5

см.

Приклад побудови з використанням кола Аполлонiя 1

Тепер ми маємо знайти спосiб побудувати $∠ C$ , й саме тут використаємо коло Аполлонiя. Єдине, що нам вiдомо, це те, що $∠ C$ повинен бути розташований на пунктирнiй лiнiї, яка знаходиться за $5$ см вiд сторони $A B$ , але ми не знаємо, де саме.

З iншого боку, нам вiдомо з кола Аполлонiя, що якщо накреслимо коло, яке проходить через вершини $A$ та $B$ , центр кола $S$ утворює центральний кут будь-якого вписаного кута, стороною якого є $A B$ . Отже, можна використати $∠ C = 45 °$ для знаходження кутiв $∠ A B S$ та $∠ B A S$ . Використаємо таку формулу (1):

∠ A B S = ∠ B A S = 90 ° - 45 ° = 45 ° .

Отже, будуємо кут $45$ ° з опорами на вершини $A$ та $B$ так, щоб вони повернулися всередину. Точка перетину $S$ цих кутових променiв є центром кола Аполлонiя.

Приклад побудови з використанням кола Аполлонiя 2

Оскiльки i $∠ B A S$ , i $∠ S B O$ дорiвнюють $45$ °, кут $∠ S = 90 °$ . Це вiдповiдає тому, що $∠ S$ є центральним кутом $∠ C$ . Отже, тепер можна накреслити коло з центром у точцi $S$ i радiусом $S A$ . $∠ C$ знаходиться там, де коло перетинає пунктирну лiнiю. Це вiдбувається у двох точках, але в умовi завдання сказано обрати точку, ближчу до вершини $A$ . Тож проведемо прямi мiж вершинами $A$ , $B$ та $C$ , й отримаємо готовий трикутник. Хiба вiн не гарний?

Приклад побудови з використанням кола Аполлонiя 3

Попередня стаття

Що стверджує теорема Фалеса?

Наступна стаття

Що таке теорема степені точки відносно кола?

Повернутися