Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Як знайти площу між двома графіками шляхом інтегрування

Коли ми шукаємо площу мiж двома графiками, потрiбно врахувати деякi аспекти, а саме:

1.
Положення площ у системi координат не має значення, тобто в цьому контекстi не важливо, чи лежать графiки вище чи нижче осi x.
2.
Щоб отримати у своїй вiдповiдi додатну площу, потрiбно завжди брати верхнiй графiк мiнус нижнiй.
3.
Як зазначено в Пункт 2, потрiбно обчислити iнтеграл для кожної площi.

Тодi, якщо припустити, що графiк f лежить вище графiка g мiж x = a i x = b, площа мiж графiками визначається так:

Формула

Площа мiж двома графiками

A = ∫ abf(x)dx −∫ abg(x)dx = ∫ ab (f(x) − g(x)) dx

Зверни увагу! Верхнi графiки завжди мають бути першими пiд час вiднiмання. У iншому випадку розрахунок дає вiд’ємний знак. Якщо це не врахувати, можна отримати неправильну вiдповiдь.

Уважно розглянь наступнi два приклади i прочитай декiлька разiв, доки не зрозумiєш їх.

Приклад 1

Знайди площу, обмежену функцiями

f(x) = x3 + 3x2 − 13x − 15 g(x) = 10x + 7

Спочатку будуємо графiки так, щоб можна було побачити обмеженi площi. У цьому випадку маємо двi площi.

Приклад площi мiж двома графiками 1

У Площi 1 вище знаходиться g(x), а в Площi 2 — f(x). Отже, потрiбно визначити, в якiй точцi графiки перетинаються, тобто в якiй точцi f(x) = g(x):

x3 + 3x2 − 13x − 15 = 10x + 7.

Розв’язуємо це рiвняння i отримуємо x ≈−6.16, x ≈−0.88 i x ≈ 4.04. Це означає, що A = −6.16, B = −0.88 i C = 4.04, де g(x) лежить вище f(x) мiж − 6.16 i − 0.88, а f(x) лежить вище g(x) мiж − 0.88 i 4.04. Отже, загальна площа становить:

A = A1 + A2.

Спочатку знаходимо A1:

A1 = ∫ −6.16−0.88x3 + 3x2 − 13x − 15 − (10x + 7)dx = ∫ −6.16−0.88x3 + 3x2 − 23x − 22dx = (1 4x4 + x3 −23 2 x2 − 22x)| −6.16−0.88 = (1 4(−0.88)4 + (−0.88)3 −23 2 (−0.88)2 − 22(−0.88)) −(1 4(−6.16)4 + (−6.16)3 −23 2 (−6.16)2 − 22(−6.16)) ≈ 9.92 − (−174.63) = 184.55

A1 = ∫ −6.16−0.88x3 + 3x2 − 13x − 15 − (10x + 7)dx = ∫ −6.16−0.88x3 + 3x2 − 23x − 22dx = (1 4x4 + x3 −23 2 x2 − 22x)| −6.16−0.88 = (1 4(−0.88)4 + (−0.88)3 −23 2 (−0.88)2 − 22(−0.88)) −(1 4(−6.16)4 + (−6.16)3 −23 2 (−6.16)2 − 22(−6.16)) ≈ 9.92 − (−174.63) = 184.55

Потiм знаходимо A2:

A2 = ∫ −0.884.0410x + 7 −(x3 + 3x2 − 13x − 15) dx = ∫ −0.884.04 − x3 − 3x2 + 23x + 22dx = (−1 4x4 − x3 + 23 2 x2 + 22x)| −0.884.04 = ( −1 4(4.04)4 − (4.04)3 + 23 2 (4.04)2 + 22(4.04)) −(−1 4(−0.88)4 − (−0.88)3 + 23 2 (−0.88)2 + 22(−0.88)) ≈ 144.04 − (−9.92) = 153.96

A2 = ∫ −0.884.0410x + 7 −(x3 + 3x2 − 13x − 15) dx = ∫ −0.884.04 − x3 − 3x2 + 23x + 22dx = (−1 4x4 − x3 + 23 2 x2 + 22x)| −0.884.04 = (−1 4(4.04)4 − (4.04)3 + 23 2 (4.04)2 + 22(4.04)) −(−1 4(−0.88)4 − (−0.88)3 + 23 2 (−0.88)2 + 22(−0.88)) ≈ 144.04 − (−9.92) = 153.96

Нарештi, загальна площа становить

A = A1 + A2 ≈ 184.55 + 153.96 = 338.5.

Приклад 2

Знайди площу, обмежену функцiями

f(x) = 1 2x2 −5 2x g(x) = −5cos (3 2x −3 5)

для x ∈[− 1.23,6.18]

Спочатку будуємо графiки так, щоб можна було побачити обмеженi площi. У цьому випадку маємо три площi.

Приклад площi мiж двома графiками 2

У Площi 1 вище лежить f(x), у Площi 2 — g(x), а у Площi 3 — знову f(x). Отже, потрiбно знайти точку, в якiй графiки перетинаються, тобто в якiй точцi f(x) = g(x):

1 2x2 −5 2x = −5 cos ⁡ (3 2x −3 5) .

Розв’язуємо це рiвняння i отримуємо x ≈−1.23, x ≈ 1.14, x ≈ 3.85 i x ≈ 6.18. Отримуємо ще двi точки перетину, але вони лежать за межами потрiбного iнтервалу. Це означає, що A = −1.23, B = 1.14, C = 3.85 i D = 6.18, де f(x) лежить мiж − 1.23 i 1.14 i вiд 3.85 до 6.18. Функцiя g(x) лежить мiж 1.14 i 3.85. Отже, загальна площа становить:

A = A1 + A2 + A3.

Спочатку знаходимо площу A1:

A1 = ∫ −1.231.141 2x2 −5 2x −(−5 cos ⁡ (3 2x −3 5)) dx = ∫ −1.231.141 2x2 −5 2x + 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) dx = (1 6x3 −5 4x2 + 5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3)|−1.231.14 = (1 6x3 −5 4x2 + 10 3 sin ⁡ (3 2x −3 5)) |−1.231.14 = (1 6(1.14)3 −5 4(1.14)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(1.14) −3 5) ) −(1 6(−1.23)3 −5 4(−1.23)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(−1.23) −3 5) ) ≈ 1.61 − (−4.34) = 5.95

A1 = ∫ −1.231.141 2x2 −5 2x −(−5 cos ⁡ (3 2x −3 5)) dx = ∫ −1.231.141 2x2 −5 2x + 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) dx = (1 6x3 −5 4x2 + 5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3) |−1.231.14 = (1 6x3 −5 4x2 + 10 3 sin ⁡ (3 2x −3 5)) |−1.231.14 = (1 6(1.14)3 −5 4(1.14)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(1.14) −3 5)) −(1 6(−1.23)3 −5 4(−1.23)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(−1.23) −3 5)) ≈ 1.61 − (−4.34) = 5.95

Потiм знаходимо площу A2:

A2 = ∫ 1.143.85 − 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) −(1 2x2 −5 2x)dx = ∫ 1.143.85 − 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) −1 2x2 + 5 2xdx = ( − 5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3 −1 6x3 + 5 4x2)| 1.143.85 = ( −10 3 cos ⁡ (3 2x −3 5) −1 6x3 + 5 4x2)| 1.143.85 = ( −10 3 cos ⁡ (3 2(3.85) −3 5) −1 6(3.85)3 + 5 4(3.85)2) −(−10 3 cos ⁡ (3 2(1.14) −3 5) −1 6(1.14)3 + 5 4(1.14)2) ≈ 12 − (−1.61) = 13.61

A2 = ∫ 1.143.85 − 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) −(1 2x2 −5 2x)dx = ∫ 1.143.85 − 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) −1 2x2 + 5 2xdx = (−5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3 −1 6x3 + 5 4x2) | 1.143.85 = (−10 3 cos ⁡ (3 2x −3 5) −1 6x3 + 5 4x2) | 1.143.85 = (−10 3 cos ⁡ (3 2(3.85) −3 5) −1 6(3.85)3 + 5 4(3.85)2) −(−10 3 cos ⁡ (3 2(1.14) −3 5) −1 6(1.14)3 + 5 4(1.14)2) ≈ 12 − (−1.61) = 13.61

Потiм знаходимо площу A3:

A3 = ∫ 3.856.181 2x2 −5 2x −(−5 cos ⁡ (3 2x −3 5)) dx = ∫ 3.856.181 2x2 −5 2x + 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) dx = (1 6x3 −5 4x2 + 5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3)|3.856.18 = (1 6x3 −5 4x2 + 10 3 sin ⁡ (3 2x −3 5)) |3.856.18 = (1 6(6.18)3 −5 4(6.18)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(6.18) −3 5) ) −(1 6(3.85)3 −5 4(3.85)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(3.85) −3 5) ) ≈−6.12 − (−12) = 5.88

A3 = ∫ 3.856.181 2x2 −5 2x −(−5 cos ⁡ (3 2x −3 5)) dx = ∫ 3.856.181 2x2 −5 2x + 5 cos ⁡ (3 2x −3 5) dx = (1 6x3 −5 4x2 + 5 sin ⁡ (3 2x −3 5) ⋅2 3) |3.856.18 = (1 6x3 −5 4x2 + 10 3 sin ⁡ (3 2x −3 5)) |3.856.18 = (1 6(6.18)3 −5 4(6.18)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(6.18) −3 5)) −(1 6(3.85)3 −5 4(3.85)2 + 10 3 sin ⁡ (3 2(3.85) −3 5)) ≈−6.12 − (−12) = 5.88

Нарештi, загальна площа становить

A = A1 + A2 + A3 ≈ 5.95 + 13.61 + 5.88 = 25.44.

A = A1 + A2 + A3 ≈ 5.95 + 13.61 + 5.88 = 25.44.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Як використовувати метод розкладання на прості дроби для інтегрування
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Як використовувати тіла обертання для знаходження об’ємів
Повернутися