>Доведення>Які відмінності між логічним наслідком та еквівалентністю?

Які відмінності між логічним наслідком та еквівалентністю?

Логiчний наслiдок ( $\Leftarrow$ , $\Rightarrow$ ) та еквiвалентнiсть ( $\Leftrightarrow$ ) — це два дуже важливi логiчнi оператори. У цiй статтi ти познайомишся з цими символами та з тим, як вони використовуються в математицi.

Логiка — це наука про правильне мислення. Вона потребує правильних та обґрунтованих мiркувань, висновкiв i доведень, що слiдують iз правил, принципiв, законiв та припущень. Логiка бере свiй початок iз часiв Арiстотеля. У математицi ми використовуємо основи логiки.

То як же все це пов’язано? Можливо, ти вже мав/мала справу з логiкою, навiть не замислюючись над цим. Розв’язування рiвнянь — це завдання на логiку. Ми шукаємо розв’язок, за якого справджуються рiвнiсть. Логiка — дуже цiкава наука. Ось два приклади того, як можуть виглядати логiчний наслiдок та еквiвалентнiсть:

Стрiлка логiчного наслiдку ( $\Leftarrow$ , $\Rightarrow$ ), означає «якщо ..., то». Ось приклад:

Якщо Тарас Тополя солiст гурту «Антитiла», то вiн учасник гурту «Антитiла».

Знак еквiвалентностi ( $\Leftrightarrow$ ) означає «тодi й тiльки тодi, якщо». Ось приклад:

$2 x = 4$ тодi й тiльки тодi, якщо $x = 2$ .

Загалом маємо таке:

Теорiя

Логiчний наслiдок

p \Rightarrow q

У цьому випадку твердження $q$ завжди справджується, якщо правильним є твердження $p$ . Ми кажемо, що «iз $p$ слiдує $q$ » або «якщо $p$ , то $q$ ».

Логiчний висновок справджується лише в одному напрямку. Це означає, що $q$ завжди правильне, якщо правильним є $p$ . Але навiть якщо $q$ правильне, це не обов’язково означає, що правильним є $p$ .

Приклад 1

Розгляньмо таке речення:

Якщо Наталка мешкає в Києвi, це означає, що вона живе в Українi. (

p \Rightarrow q

, але не

p \Leftarrow q

)

Якщо Наталка живе в Українi, вона не обов’язково мешкає в Києвi.

Це твердження є логiчним наслiдком, тому що воно абсолютно правильне тiльки в одному напрямку. Ми не можемо дiйти висновку, що оскiльки Наталка живе в Українi, вона обов’язково мешкає в Києвi. Наприклад, вона може мешкати в Одесi.

Приклад 2

Розгляньмо таке речення:

Коли йде дощ, вулиця стає мокрою.

( $p \Rightarrow q$ , але не $p \Leftarrow q$ )

Якщо вулиця мокра, то не обов’язково через дощ.

Вулиця могла намокнути через те, що хтось поблизу поливав газон.

Теорiя

Еквiвалентнiсть

p \Leftrightarrow q

У цьому випадку твердження $q$ справджується, якщо правильним є $p$ ( $p \Rightarrow q$ ), й твердження $p$ справджується, якщо правильним є твердження ( $p \Leftarrow q$ ).

Кажемо, що $p$ еквiвалентне $q$ , оскiльки цей логiчний наслiдок справджується в обидвох напрямках. Маємо « $p$ тодi й тiльки тодi, якщо $q$ ». Еквiвалентнiсть двох тверджень один одному означає, що ми маємо логiчну еквiвалентнiсть.

Приклад 3

Розгляньмо родиннi зв’язки мiж Девiдом Бекхемом i його сином Бруклiном Бекхемом.

Бруклiн — син Девiда тодi й тiльки тодi, якщо Девiд — батько Бруклiна.

( $p \Leftrightarrow q$ )

Те, що Бруклiн є сином Девiда, еквiвалентне тому, що Девiд є батьком Бруклiна. Можна роздiлити цю еквiвалентнiсть на два логiчнi наслiдки:

Якщо Бруклiн — син Девiда, то Девiд — батько Бруклiна.

( $p \Rightarrow q$ )

Отже, з твердження Бруклiн — син Девiда слiдує, що Девiд — батько Бруклiна. Крiм того:

Якщо Девiд — батько Бруклiна, то Бруклiн — син Девiда.

( $p \Leftarrow q$ )

Отже, iз твердження Девiд — це син Бруклiна слiдує, що Бруклiн — син Девiда.

Оскiльки цей логiчний наслiдок справджується в обидвох напрямках, цi твердження є еквiвалентними.

Приклад 4

Розгляньмо таке твердження:

У трикутнику всi кути рiвнi тодi й тiльки тодi, якщо всi сторони однакової довжини.

( $p \Leftrightarrow q$ )

Ця логiчна еквiвалентнiсть складається з двох логiчних наслiдкiв (тут $p =$ «у трикутнику всi кути рiвнi», а $q =$ «всi сторони однакової довжини»):

Якщо в трикутнику всi кути рiвнi, то всi сторони однакової довжини.

( $p \Rightarrow q$ )

та

Якщо в трикутнику всi сторони однакової довжини, то всi кути рiвнi.

( $p \Leftarrow q$ )

Зверни увагу, що навiть якщо еквiвалентнiсть правильна, самi два твердження не обов’язково повиннi бути правильними. Iснують трикутники, якi не є рiвностороннiми. Еквiвалентнiсть означає, що якщо правильне одне твердження, то справджується й iнше твердження, й навпаки. Отже, якщо нам вiдомо, що трикутник рiвностороннiй, то ми також знаємо, що всi кути в ньому рiвнi, а якщо нам вiдомо, що в трикутнику всi кути рiвнi, то всi сторони повиннi бути однакової довжини.

Приклад 5

Якщо $2 x = 4$ , то $x = 2$ . Це означає, що

2 x = 4 \Rightarrow x = 2 .

Але ми також знаємо, що якщо f $x = 2$ , то $2 x = 4$ . Це означає, що

2 x = 4 \Leftarrow x = 2 .

Оскiльки цi логiчнi наслiдки справджуються в обидвох напрямках, твердження еквiвалентнi, й ми записуємо

2 x = 4 \Leftrightarrow x = 2 .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке математичне доведення?

Наступна стаття

Що таке пряме доведення?

Повернутися