Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
УвійтиЗареєструватися
Меню

Що таке формула Муавра та як її використовувати?

Комплекснi числа можна використовувати для розв’язування завдань, якi, здавалося б, пов’язанi лише з дiйсними числами. Важливим засобом, яким можна послуговуватися в таких випадках, є формула Муавра.

Формула

Формула Муавра

Для всiх натуральних чисел n ∈ ℕ справджується таке:

= (cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃)n = cos ⁡ (n𝜃) + i sin ⁡ (n𝜃).

(cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃)n = cos ⁡ (n𝜃) + i sin ⁡ (n𝜃).

Розрахунки часто спрощують, перемiщуючи показник степеня, як у формулi Муавра. Це показує Приклад 1.

Формулу Муавра можна довести за допомогою формули Ейлера й правил пiднесення до степеня:

= (cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃)n = (ei𝜃) n = ein𝜃 = cos ⁡ (n𝜃) + i sin ⁡ (n𝜃).

(cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃)n = (ei𝜃) n = ein𝜃 = cos ⁡ (n𝜃) + i sin ⁡ (n𝜃).

Q.E.D

Приклад 1

Доведи такi тригонометричнi тотожностi:

cos (2𝜃) = cos2𝜃 − sin2𝜃,

та

sin (2𝜃) = 2cos𝜃sin𝜃,

за допомогою формули Муавра

Вирази охоплюють cos ⁡ (2𝜃) та sin ⁡ (2𝜃), тому можна використати n = 2 у формулi Муавра

= cos ⁡ (2𝜃) + i sin ⁡ (2𝜃) = (cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃)2 = cos ⁡ 2𝜃 + 2i sin ⁡ 𝜃 cos ⁡ 𝜃i = + (i sin ⁡ 𝜃)2 = cos ⁡ 2𝜃 + 2i sin ⁡ 𝜃 cos ⁡ 𝜃i = − sin ⁡ 2𝜃 = cos ⁡ 2𝜃 − sin ⁡ 2𝜃 = + 2i sin ⁡ 𝜃 cos ⁡ 𝜃.

cos ⁡ (2𝜃) + i sin ⁡ (2𝜃) = (cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃)2 = cos ⁡ 2𝜃 + 2i sin ⁡ 𝜃 cos ⁡ 𝜃i + (i sin ⁡ 𝜃)2 = cos ⁡ 2𝜃 + 2i sin ⁡ 𝜃 cos ⁡ 𝜃i − sin ⁡ 2𝜃 = cos ⁡ 2𝜃 − sin ⁡ 2𝜃 + 2i sin ⁡ 𝜃 cos ⁡ 𝜃.

Щоб це рiвняння справджувалося, дiйснi частини по обидва боки вiд знака рiвностi мають бути однаковими, а уявнi частини по обидва боки також мають бути однаковими. Це дасть нам тотожностi, якi ми мали намiр довести:

cos ⁡ (2𝜃) = cos ⁡ 2𝜃 − sin ⁡ 2𝜃, sin ⁡ (2𝜃) = 2 sin ⁡ 𝜃 cos ⁡ 𝜃.

Q.E.D

Використовуючи формулу Ейлера, можна вивести зв’язок мiж показниковою функцiєю та тригонометричними функцiями:

rei𝜃 = r (cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃).

Тому можна визначити косинус i синус, використовуючи комплекснi числа за формулою Ейлера.

Теорiя

Визначення косинуса та синуса з використанням комплексних чисел

Для всiх комплексних чисел z ∈ ℂ справджується таке:

cos ⁡ z = eiz + e−iz 2 , sin ⁡ z = eiz − e−iz 2i .

Визначення можна обґрунтувати для дiйсних чисел 𝜃 ∈ ℝ, використовуючи формулу Ейлера, подiбно до цього:

ei𝜃 + e−i𝜃 2 = cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃 + cos ⁡ (−𝜃) + i sin ⁡ (−𝜃) 2 = cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃 + cos ⁡ 𝜃 − i sin ⁡ 𝜃 2 = 2 cos ⁡ 𝜃 2 = cos ⁡ 𝜃,

та

ei𝜃 − e−i𝜃 2i = cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃 −(cos ⁡ (−𝜃) + i sin ⁡ (−𝜃)) 2i = cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃 − cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃 2i = 2i sin ⁡ 𝜃 2i = sin ⁡ 𝜃.

Q.E.D

Цей зв’язок мiж показниковою функцiєю та тригонометричними функцiями корисний у рiзних ситуацiях. Часто легше працювати з показниковою функцiєю, нiж iз тригонометричними функцiями. Тому, коли ти маєш справу з тригонометричними функцiями, може бути гарною iдеєю переформулювати завдання, використовуючи показникову функцiю.

Приклад 2

Заново вiдкрий правила диференцiювання для синуса та косинуса,

(sinx)′ = cosx, (cosx)′ = −sinx,

використовуючи показникову функцiю

Спочатку запишемо синус у показниковiй формi:

sin ⁡ x = eix − e−ix 2i .

Опiсля ми знаходимо похiдну обидвох частин виразу вiдносно x. Згадай правила диференцiювання показникової функцiї. Уявна одиниця i виводиться так само, як i для будь-якого iншого числа:

(sin ⁡ x)′ = (eix − e−ix 2i )′ = ieix + ie−ix 2i = i (eix + eix) 2i = eix + e−ix 2 = cos ⁡ x.

Можна зробити те саме з косинусом, спершу записавши його в показниковiй формi:

(cos ⁡ x)′ = (eix + e−ix 2 ) ′ = ieix − ie−ix 2 = i (eix − eix) 2 = i2 (eix − eix) 2i = −(eix + e−ix) 2i = − sin ⁡ x.

(cos ⁡ x)′ = (eix + e−ix 2 ) ′ = ieix − ie−ix 2 = i (eix − eix) 2 Розшир дрiб, помноживши його на i = i2 (eix − eix) 2i Скористайся тим фактом, що i2 = −1 = −(eix + e−ix) 2i = − sin ⁡ x.

Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Що таке корені комплексного числа?
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Як знайти відстань між двома комплексними числами
Повернутися