Що таке формула Муавра та як її використовувати?

Комплекснi числа можна використовувати для розв’язування завдань, якi, здавалося б, пов’язанi лише з дiйсними числами. Важливим засобом, яким можна послуговуватися в таких випадках, є формула Муавра.

Розрахунки часто спрощують, перемiщуючи показник степеня, як у формулi Муавра. Це показує Приклад 1.

Формулу Муавра можна довести за допомогою формули Ейлера й правил пiднесення до степеня:

Використовуючи формулу Ейлера, можна вивести зв’язок мiж показниковою функцiєю та тригонометричними функцiями:

$$r{e}^{i𝜃}=r\left(\cos 𝜃+i\sin 𝜃\right).$$

Тому можна визначити косинус i синус, використовуючи комплекснi числа за формулою Ейлера.

Визначення можна обґрунтувати для дiйсних чисел $𝜃\in ℝ$, використовуючи формулу Ейлера, подiбно до цього:

$$\begin{array}{llll}\hfill \frac{e^{i𝜃}+e^{-i𝜃}}{2}& =\frac{\cos 𝜃+i\sin 𝜃+\cos \left(-𝜃\right)+i\sin \left(-𝜃\right)}{2}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{\cos 𝜃+i\sin 𝜃+\cos 𝜃-i\sin 𝜃}{2}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{\text{<mn>2</mn>}\cos 𝜃}{\text{<mn>2</mn>}}& \hfill & \\ \hfill & =\cos 𝜃,& \hfill & \end{array}$$

та

$$\begin{array}{llll}\hfill \frac{e^{i𝜃}-e^{-i𝜃}}{2i}& =\frac{\cos 𝜃+i\sin 𝜃-\left(\cos \left(-𝜃\right)+i\sin \left(-𝜃\right)\right)}{2i}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{\cos 𝜃+i\sin 𝜃-\cos 𝜃+i\sin 𝜃}{2i}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{\text{<mn>2</mn><mi type="i">i</mi>}\sin 𝜃}{\text{<mn>2</mn><mi type="i">i</mi>}}& \hfill & \\ \hfill & =\sin 𝜃.& \hfill & \end{array}$$

Цей зв’язок мiж показниковою функцiєю та тригонометричними функцiями корисний у рiзних ситуацiях. Часто легше працювати з показниковою функцiєю, нiж iз тригонометричними функцiями. Тому, коли ти маєш справу з тригонометричними функцiями, може бути гарною iдеєю переформулювати завдання, використовуючи показникову функцiю.