Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Що таке формула Муавра та як її використовувати?

Комплекснi числа можна використовувати для розв’язування завдань, якi, здавалося б, пов’язанi лише з дiйсними числами. Важливим засобом, яким можна послуговуватися в таких випадках, є формула Муавра.

Формула

Формула Муавра

Для всiх натуральних чисел n ∈ ℕ справджується таке:

= (cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃)n = cos ⁡ (n𝜃) + i sin ⁡ (n𝜃).

(cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃)n = cos ⁡ (n𝜃) + i sin ⁡ (n𝜃).

Розрахунки часто спрощують, перемiщуючи показник степеня, як у формулi Муавра. Це показує Приклад 1.

Формулу Муавра можна довести за допомогою формули Ейлера й правил пiднесення до степеня:

= (cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃)n = (ei𝜃) n = ein𝜃 = cos ⁡ (n𝜃) + i sin ⁡ (n𝜃).

(cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃)n = (ei𝜃) n = ein𝜃 = cos ⁡ (n𝜃) + i sin ⁡ (n𝜃).

Q.E.D

Приклад 1

Доведи такi тригонометричнi тотожностi:

cos (2𝜃) = cos2𝜃 − sin2𝜃,

та

sin (2𝜃) = 2cos𝜃sin𝜃,

за допомогою формули Муавра

Вирази охоплюють cos ⁡ (2𝜃) та sin ⁡ (2𝜃), тому можна використати n = 2 у формулi Муавра

= cos ⁡ (2𝜃) + i sin ⁡ (2𝜃) = (cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃)2 = cos ⁡ 2𝜃 + 2i sin ⁡ 𝜃 cos ⁡ 𝜃i = + (i sin ⁡ 𝜃)2 = cos ⁡ 2𝜃 + 2i sin ⁡ 𝜃 cos ⁡ 𝜃i = − sin ⁡ 2𝜃 = cos ⁡ 2𝜃 − sin ⁡ 2𝜃 = + 2i sin ⁡ 𝜃 cos ⁡ 𝜃.

cos ⁡ (2𝜃) + i sin ⁡ (2𝜃) = (cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃)2 = cos ⁡ 2𝜃 + 2i sin ⁡ 𝜃 cos ⁡ 𝜃i + (i sin ⁡ 𝜃)2 = cos ⁡ 2𝜃 + 2i sin ⁡ 𝜃 cos ⁡ 𝜃i − sin ⁡ 2𝜃 = cos ⁡ 2𝜃 − sin ⁡ 2𝜃 + 2i sin ⁡ 𝜃 cos ⁡ 𝜃.

Щоб це рiвняння справджувалося, дiйснi частини по обидва боки вiд знака рiвностi мають бути однаковими, а уявнi частини по обидва боки також мають бути однаковими. Це дасть нам тотожностi, якi ми мали намiр довести:

cos ⁡ (2𝜃) = cos ⁡ 2𝜃 − sin ⁡ 2𝜃, sin ⁡ (2𝜃) = 2 sin ⁡ 𝜃 cos ⁡ 𝜃.

Q.E.D

Використовуючи формулу Ейлера, можна вивести зв’язок мiж показниковою функцiєю та тригонометричними функцiями:

rei𝜃 = r (cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃).

Тому можна визначити косинус i синус, використовуючи комплекснi числа за формулою Ейлера.

Теорiя

Визначення косинуса та синуса з використанням комплексних чисел

Для всiх комплексних чисел z ∈ ℂ справджується таке:

cos ⁡ z = eiz + e−iz 2 , sin ⁡ z = eiz − e−iz 2i .

Визначення можна обґрунтувати для дiйсних чисел 𝜃 ∈ ℝ, використовуючи формулу Ейлера, подiбно до цього:

ei𝜃 + e−i𝜃 2 = cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃 + cos ⁡ (−𝜃) + i sin ⁡ (−𝜃) 2 = cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃 + cos ⁡ 𝜃 − i sin ⁡ 𝜃 2 = 2 cos ⁡ 𝜃 2 = cos ⁡ 𝜃,

та

ei𝜃 − e−i𝜃 2i = cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃 −(cos ⁡ (−𝜃) + i sin ⁡ (−𝜃)) 2i = cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃 − cos ⁡ 𝜃 + i sin ⁡ 𝜃 2i = 2i sin ⁡ 𝜃 2i = sin ⁡ 𝜃.

Q.E.D

Цей зв’язок мiж показниковою функцiєю та тригонометричними функцiями корисний у рiзних ситуацiях. Часто легше працювати з показниковою функцiєю, нiж iз тригонометричними функцiями. Тому, коли ти маєш справу з тригонометричними функцiями, може бути гарною iдеєю переформулювати завдання, використовуючи показникову функцiю.

Приклад 2

Заново вiдкрий правила диференцiювання для синуса та косинуса,

(sinx)′ = cosx, (cosx)′ = −sinx,

використовуючи показникову функцiю

Спочатку запишемо синус у показниковiй формi:

sin ⁡ x = eix − e−ix 2i .

Опiсля ми знаходимо похiдну обидвох частин виразу вiдносно x. Згадай правила диференцiювання показникової функцiї. Уявна одиниця i виводиться так само, як i для будь-якого iншого числа:

(sin ⁡ x)′ = (eix − e−ix 2i )′ = ieix + ie−ix 2i = i (eix + eix) 2i = eix + e−ix 2 = cos ⁡ x.

Можна зробити те саме з косинусом, спершу записавши його в показниковiй формi:

(cos ⁡ x)′ = (eix + e−ix 2 ) ′ = ieix − ie−ix 2 = i (eix − eix) 2 = i2 (eix − eix) 2i = −(eix + e−ix) 2i = − sin ⁡ x.

(cos ⁡ x)′ = (eix + e−ix 2 ) ′ = ieix − ie−ix 2 = i (eix − eix) 2 Розшир дрiб, помноживши його на i = i2 (eix − eix) 2i Скористайся тим фактом, що i2 = −1 = −(eix + e−ix) 2i = − sin ⁡ x.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Що таке корені комплексного числа?
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Як знайти відстань між двома комплексними числами
Повернутися