Functions
Степеневi функцiї — це особливий випадок полiномiальної функцiї, оскiльки степенева функцiя має лише один доданок: нормований многочлен у формi .
Степеневi функцiї аналiзують так само, як i звичайнi полiномiальнi функцiї. Метод такий:
Правило
Аналiз степеневих функцiй
- 1.
- Знайди нулi функцiї.
- 2.
- Знайди стацiонарнi точки.
- 3.
- Знайди точки перегину.
Приклад 1
Проаналiзуй функцiю
- 1.
- Спочатку знаходимо нулi, задавши . Отримаємо:
Отже, маємо нуль у точцi .
- 2.
- Потiм знаходимо максимуми та мiнiмуми, задавши . Спочатку диференцiюємо функцiю:
Потiм задаємо вираз рiвним 0 i знаходимо максимуми та мiнiмуми:
Щоб визначити, максимум це чи мiнiмум, можна вибрати два значення: одне лiворуч вiд i одне праворуч вiд . Пiдставляємо їх у диференцiйовану функцiю та iнтерпретуємо знак. Вибираємо числа, з якими зручно працювати, наприклад i :
Оскiльки графiк спочатку спадає, а потiм зростає, маємо справу з мiнiмумом.
Тепер потрiбно знайти значення точки, пiдставивши значення у основну функцiю :
Отже, мiнiмум вiдповiдає точцi .
- 3.
- Щоб знайти точки перегину функцiї, задаємо . Спочатку знаходимо :
Задаємо вираз рiвним 0 i отримуємо:
Тепер можна знайти значення точки, пiдставивши своє значення у основну функцiю :
Як бачимо, нуль, точка перегину та мiнiмум є тiєю самою точкою.