Thales' setning

Sirkel med trekant etter Thales setning.

Regel

Thales’ setning

Thales’ setning sier at en vinkel som har toppunkt på sirkelperiferien og som utspenner diameteren i en sirkel, alltid er $90$ ° $(u + v = 90 °)$ .

Dette gjør Thales’ setning til et særtilfelle av setningen om periferivinkler og sentralvinkler. Dersom periferivinkelen er

90

°, vil sentralvinkelen være

180

°. Dette stemmer siden diameteren kan sees på som en vinkel på

180

°.

Tenk på dette

Bevis for Thales’ setning

Av tegningen ser du at trekantene $△ B A P$ og $△ C A P$ begge er likebeinte trekanter, fordi to av sidene til begge trekantene er radius i sirkelen. Da kan du skrive vinkelsummen av den røde trekanten på følgende måte:

\begin{array}{l} u + v + v + u & = 180 ° \\ 2 u + 2 v & = 180 ° \\ u + v & = 90 ° \end{array}

Q.E.D

Eksempel 1

Finn alle vinklene i figuren, der $A B$ er diameteren

Siden $A B$ er diameteren så forteller Thales’ setning at $∠ A C B = 90 °$ . Du vet også at $S B = S C = S A$ er radien i sirkelen. Dermed er $△ B S C$ likebeint og $∠ S C B = 35 °$ . Da får du at

∠ B S C = 180 ° - 35 ° - 35 ° = 110 ° .

Videre vet du at $△ A S C$ er likebeint og at $∠ A S C$ er komplementvinkelen til $∠ B S C$ . Da er

∠ A S C = 180 ° - 110 ° = 70 ° .

Da vil

∠ S A C = ∠ S C A = \frac{180 ° - 70 °}{2} = 55 ° .

Forrige oppslag

Likningen til en sirkel

Neste oppslag

Apollonius' sirkel

Tilbake