>Grenseverdier>Grenseverdier for funksjoner

Grenseverdier for funksjoner

Grenseverdier er verdier som sier noe om hva som skjer når et uttrykk går mot en bestemt verdi. Denne verdien kan være $- \infty$ , $\infty$ eller et hvilket som helst tall på tallinjen.

Når det er snakk om grenseverdier bruker du en bestemt notasjon:

\lim_{x \to a} uttrykk

Du leser dette «grenseverdien av uttrykk når $x$ går mot $a$ ». Her er « $\lim$ » en forkortelse for «limit», som på norsk betyr «grense». Matematikken liker å gjøre ting så enkelt og intuitivt som mulig.

Regel

Grenseverdier for polynomer

For polynomet

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

er grenseverdien

\lim_{x \to a} f (x)

lik funksjonsverdien $f (a)$ for alle $a \in ℝ$ . Altså,

\lim_{x \to a} f (x) = f (a) .

Eksempel 1

Finn grenseverdien til $f (x) = x^{2} + 3 x - 4$ når $x \to 3$

\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} f (x) & = \lim_{x \to 3} x^{2} + 3 x - 4 \\ = 3^{2} + 3 \cdot 3 - 4 \\ = 9 + 9 - 4 \\ = 14 \end{array}

La $f (x)$ være et polynom av grad $n$ . Altså

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} .

Om $x$ går mot pluss eller minus uendelig, så vil etterhvert $a_{n} x^{n}$ bli det dominerende leddet i uttrykket og dermed bestemme om funksjonsverdien til $f (x)$ er positiv eller negativ. Ser du på grenseverdien når $x \to \infty$ , så vil det dominerende leddet påvirke fortegnet til funksjonsverdien til $f (x)$ ved at $x^{n}$ går mot pluss uendelig om $n$ er et partall, og mot minus uendelig om $n$ er et oddetall. Nedenfor er en oppsummering av de ulike tilfellene:

Regel

Grenseverdier for polynomer når $x$ går mot pluss/minus uendelig

For $a_{n} > 0$ og $n$ partall er

\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty og \lim_{x \to - \infty} f (x) = \infty .

For $a_{n} < 0$ og $n$ partall er

\lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty og \lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty .

For $a_{n} > 0$ og $n$ oddetall er

\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty og \lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty .

For $a_{n} < 0$ og $n$ oddetall er

\lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty og \lim_{x \to - \infty} f (x) = \infty .

Et polynom vil uansett gå mot enten pluss eller minus uendelig når $x \to \pm \infty$ .

Eksempel 2

Finn grenseverdien $\lim_{x \to - \infty} - 2 x^{3} - 2 x + 5$

Her er $f (x)$ et polynom av grad 3 og dermed av oddetallsgrad. I tillegg er koeffisienten til den høyeste $x$ -potensen negativ. Grenseverdien er derfor

\lim_{x \to - \infty} - 2 x^{3} - 2 x + 5 = \infty .

Regel

Triks for grenseverdier til rasjonale funksjoner

Når både telleren og nevneren i en brøk går mot null, når $x \to a$ , kan du faktorisere telleren og nevneren hver for seg for å finne grenseverdien til brøken $\lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)}$ .
Når både telleren og nevneren i en brøk går mot uendelig, når $x \to a$ , kan du dividere alle leddene i uttrykket med den høyeste potens av $x$ som finnes i uttrykket.

NB! Når du har en enkel brøk $\frac{1}{x}$ og $x \to \infty$ så blir $\frac{1}{x} = 0$ . Alle brøker der $x$ kun finnes i nevneren, og hvor $x$ går mot uendelig, blir lik null. Dette er god stemning!

Regel

Noen viktige grenseverdier

Når $a \in ℝ ∖ {0}$ gjelder følgende likheter:

\lim_{x \to \infty} \frac{a}{x} = 0 \lim_{x \to - \infty} \frac{a}{x} = 0 \lim_{x \to 0} \frac{a}{x} = \infty

NB! $\infty$ er ikke et tall! Slik at uansett hvor stort tall du velger på tallinjen så vil $\infty$ være uendelig mye større. Det gjør at forholdet mellom teller og nevner når $x \to \infty$ eller $x \to - \infty$ alltid vil være uendelig stort.

Eksempel 3

Finn grenseverdien $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x}{x - 1}$

Du har da at

\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x (x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} x = 1 .

Eksempel 4

Finn grenseverdien $\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 2}$

Du har da at

\begin{array}{l} \lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 2} & = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} - \frac{3 x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}} \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{2}{x^{2}}} \\ = \frac{2 - 0}{1 + 0} \\ = 2 \end{array}

Eksempel 5

Finn grenseverdien $\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x}{x}$

Du har da at

\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x}{x} & = \lim_{x \to 0} \frac{x (x - 2)}{x} \\ = \lim_{x \to 0} \frac{x (x - 2)}{x} \\ = \lim_{x \to 0} x - 2 \\ = - 2 \end{array}

Regel

Grenseverdier for eksponentialfunksjoner

For $0 < a < 1$ er

\lim_{x \to \infty} a^{x} = 0 og \lim_{x \to - \infty} a^{x} = \infty .

For $a > 1$ er

\lim_{x \to \infty} a^{x} = \infty og \lim_{x \to - \infty} a^{x} = 0 .

For $a = 1$ er

\lim_{x \to \infty} 1^{x} = \lim_{x \to - \infty} 1^{x} = 1 .

Eksempel 6

Se på funksjonen $f (x) = e^{0, 5 x}$ . Vil funksjonsverdien gå mot null eller uendelig når $x \to \infty$ ?

Her må du gjøre om funksjonsuttrykket til eksponentialfunksjonen for å finne vekstfaktoren, siden det ikke er opplagt om vekstfaktoren er større eller mindre enn 1:

e^{0, 5 x} = {(e^{0, 5})}^{x} \approx 1, 64 8^{x} .

Dermed ser vi at

\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty .

NB! Du kunne ha sett at $e^{0, 5} > 1$ ettersom $e^{x}$ er en strengt voksende funksjon og $e^{0} = 1$ .

Neste oppslag

Kontinuitet for funksjoner

Tilbake

Grenseverdier for polynomer

Grenseverdier for polynomer når x går mot pluss/minus uendelig

Triks for grenseverdier til rasjonale funksjoner

Noen viktige grenseverdier

Grenseverdier for eksponentialfunksjoner

Grenseverdier for polynomer når $x$ går mot pluss/minus uendelig