>Kvadratsetningene>Hvordan fullføre kvadratet?

Hvordan fullføre kvadratet?

Å fullføre et kvadrat vil si å smugle inn to ekstra ledd for å kunne skrive et andregradsuttrykk på en annen form. Huskeregelen er:

Regel

Regel på rim

1.: Halvere (dele på 2)
2.: Kvadrere (opphøye i 2)
3.: Addere (legge til)
4.: Subtrahere (trekke ifra)

NB! Greia er at dersom du legger til og samtidig trekker fra ett og samme tall, så endrer du ikke verdien til uttrykket!

Et andregradsuttrykk er på formen

a x^{2} + b x + c

Du gjør uttrykket om til et kvadrat når du skriver det på formen

a {(x - x_{0})}^{2} + d

slik at

a x^{2} + b x + c = a {(x - x_{0})}^{2} + d

Når $d = 0$ er uttrykket et fullstendig kvadrat, altså et uttrykk som følger første eller andre kvadratsetning. Nettopp derfor bruker du disse i denne metoden, bare motsatt vei. Her følger en oppskrift:

Regel

Å fullføre et kvadrat

Du har et uttrykk på formen $a x^{2} + b x + c$ og skal fullføre kvadratet. Det aller første du må gjøre er å faktorisere ut koeffisienten $a$ , og skrive uttrykket på formen $a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})$ . Dette steget kan du ignorere i de tilfellene der $a = 1$ .

Halvere:: $\frac{b}{a}$ er tallet foran $x$ -leddet inni parentesen. Del dette på 2. Da får du $\frac{b}{2 a}$ .
Kvadrere:: $\frac{b}{2 a}$ skal opphøyes i 2. Da får du ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ .
Addere:: Dette uttrykket, ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ , legger du til etter $\frac{b}{a} x$ -leddet.
Subtrahere:: Samme uttrykk, ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ , trekker du ifra etter $+ {(\frac{b}{2 a})}^{2}$ .

Hele uttrykket ser da slik ut:

\begin{array}{l} a (x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a}) \\ = a {(x - x_{0})}^{2} + d . \end{array}

\begin{array}{l} a (x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a}) = a {(x - x_{0})}^{2} + d . \end{array}

NB! I formelen $a {(x - x_{0})}^{2} + d$ er $x_{0} = \frac{b}{2}$ og $d = - (\frac{b}{2}) + c$ .

Eksempel 1

Fullfør kvadratet $x^{2} + 4 x + 3$ og skriv på formen $a {(x - x_{0})}^{2} + d$

\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + 3 \\ = x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 3 \\ = x^{2} + 4 x + 2^{2} - 2^{2} + 3 \\ = {(x + 2)}^{2} - 4 + 3 \\ = {(x + 2)}^{2} - 1 \end{array}

\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + 3 & = x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{4}{2})}^{2} + 3 \\ = x^{2} + 4 x + 2^{2} - 2^{2} + 3 \\ = {(x + 2)}^{2} - 4 + 3 \\ = {(x + 2)}^{2} - 1 \end{array}

Eksempel 2

Vis at $x^{2} - 12 x + 36$ er et kvadrat

\begin{array}{l} x^{2} - 12 x + 36 \\ = x^{2} - 12 x + {(\frac{- 12}{2})}^{2} - {(\frac{- 12}{2})}^{2} + 36 \\ = x^{2} - 12 x + 6^{2} - 6^{2} + 36 \\ = {(x - 6)}^{2} - 36 + 36 \\ = {(x - 6)}^{2} \end{array}

\begin{array}{l} x^{2} - 12 x + 36 & = x^{2} - 12 x + {(\frac{- 12}{2})}^{2} - {(\frac{- 12}{2})}^{2} + 36 \\ = x^{2} - 12 x + 6^{2} - 6^{2} + 36 \\ = {(x - 6)}^{2} - 36 + 36 \\ = {(x - 6)}^{2} \end{array}

Siden

d = 0

x^{2} - 12 x + 36

et kvadrat.

Eksempel 3

Finn topp- eller bunnpunktet til funksjonen $f (x) = x^{2} - 3 x + 12$ ved å fullføre kvadratet

\begin{array}{l} f (x) & = x^{2} - 3 x + {(\frac{- 3}{2})}^{2} - {(\frac{- 3}{2})}^{2} + 12 \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{- 3}{2})}^{2} + 12 \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + 12 \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + \frac{48}{4} \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9 + 48}{4} \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{57}{4} \end{array}

\begin{array}{l} f (x) & = x^{2} - 3 x + {(\frac{- 3}{2})}^{2} - {(\frac{- 3}{2})}^{2} + 12 \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{- 3}{2})}^{2} + 12 \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + 12 \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + \frac{48}{4} \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9 + 48}{4} \\ = {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{57}{4} \end{array}

Siden

a > 0

vet du at det er et bunnpunkt.

x

-verdien blir da

x - \frac{3}{2} = 0

som gir

x = \frac{3}{2}

y

-verdien blir

d = - \frac{57}{4}

. Bunnpunktet er derfor

(\frac{3}{2}, - \frac{57}{4})

Forrige oppslag

Hva er konjugatsetningen eller tredje kvadratsetning?

Tilbake