Vei, fart og akselerasjon

Den deriverte setter vei $s (t)$ , fart $v (t)$ og akselerasjon $a (t)$ i en sammenheng. Ved å derivere kan du finne et uttrykk for farten $v (t)$ og akselerasjon $a (t)$ ved hjelp av vei $s (t)$ . Sammenhengen er denne:

Regel

Vei, fart og akselerasjon

Gitt at du har strekning (posisjon) $s (t)$ , da har du at:

\begin{array}{l} v (t) & = s^{'} (t) \\ a (t) & = v^{'} (t) = s^{″} (t) \end{array}

Eksempel 1

Et fly skal fly fra London til New York. Turen tar 8 timer. Funksjonen gir strekningen flyet har reist.

s (t) = 6000 (3 {(\frac{t}{8})}^{2} - 2 {(\frac{t}{8})}^{3}) for 0 < t < 8

der $t$ er antall timer etter avgang og $s (t)$ er i kilometer.
1.
Hvor langt har flyet fløyet etter fire timer?
2.
Hvilken fart har flyet etter fire timer?
3.
Finn akselerasjonen etter fire timer.

1.

Du setter inn

t = 4

i

s

:

\begin{array}{l} s (4) & = 6000 (3 {(\frac{4}{8})}^{2} - 2 {(\frac{4}{8})}^{3}) \\ = 3000 \end{array}

\begin{array}{l} s (4) & = 6000 (3 {(\frac{4}{8})}^{2} - 2 {(\frac{4}{8})}^{3}) \\ = 3000 \end{array}

Etter fire timer har flyet fløyet

3000

km.

2.

For å finne farten til flyet etter fire timer må du finne fartsfunksjonen

v (t)

. Den finner du ved å derivere

s (t)

:

\begin{array}{l} v (t) & = s^{'} (t) \\ = - \frac{1125}{16} t^{2} + \frac{9000}{16} t \\ v (4) & = s^{'} (4) \\ = - \frac{1125}{16} \cdot 4^{2} + \frac{9000}{16} \cdot 4 \\ = 1125 \end{array}

Flyet hadde en fart på $1125$ km/t.

3.

For å finne akselerasjonen etter fire timer må du derivere fartsfunksjonen

v (t)

. Da får du:

\begin{array}{l} a (t) & = v^{'} (t) \\ = s^{″} (t) \\ = - \frac{1125}{8} t + \frac{4500}{8} \\ a (4) & = v^{'} (4) \\ = s^{″} (4) \\ = - \frac{1125}{8} \cdot 4 + \frac{4500}{8} \\ = 0 \end{array}

Ved fire timer har flyet en akselerasjon på $0$ km/t².

Ferdig